Question

已知：如图，AB和AC与⊙O相切于B、C，P是⊙O上一点，且PE⊥AB于E，PD⊥BC于D，PF⊥AC于F．
求证：PD²=PE•PF．

Answer 1

证明：
∵PE⊥AB于E，PD⊥BC于D，PF⊥AC于F，
∴四点D、B、E、P共圆，四点C、D、P、F共圆，
连接PB、DE则∠1=∠3，∠5=∠PED，
连接PC、DF，则∠2=∠4，∠6=∠PDF，
∵AB、AC是⊙O的切线，B、C是切点，
∴∠3=∠4，∠5=∠6．
∴∠1=∠2，∠PED=∠PDF．
∴△PED∽△PDF．
∴=，即PD²=PF•PE．
分析：先连接PB、DE，以及连接PC、DF，根据DP⊥BC，PE⊥AE，可证四点P、D、B、E共圆，同理，四点P、D、C、F共圆，可利用圆周角的性质，分别得出两组角相等，结合弦切角的性质，也可得出两组角相等，利用等量代换，可证∠1=∠2，∠PED=∠PDF，从而可证三角形相似，再利用相似三角形的性质，可得比例线段，那么此题得证．
点评：本题利用了切线的性质、弦切角的性质、四点共圆的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识．