Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，在⊙O上取点D，连接CD，使得AC=CD，延长CD交直线AB于点E．

(1)求证：CD是⊙O的切线．

(2)若AC=2，AE=6．

①求⊙O的半径．

②点M是优弧上的一个动点（不与B，D重合），求MD，MB及弧BD围成的阴影部分面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①⊙O的半径为2，②π＋2

【解析】

（1）连结OD，OC．根据SSS可证△CAO≌△CDO，得∠ODC=∠OAC=90°，则CD是 O的切线；
（2）①由（1）的结论可以得到CD=CA，再依据勾股定理可以求得 O的半径为2；
②面积可看成两部分，三角形DMB跟弧DB的面积，弧DB不变，三角形面积为底DB乘以高除以2，当M运动到优弧的中点时，阴影部分的面积最大，可求得最大值．

(1)证明：连接OD，OC，如图．

∵AC是⊙O的切线，

∴∠CAB＝90°，

在△CAO和△CDO中

，

∴△CAO≌△CDO.

∴∠CAO＝∠CDO＝90°，

∴CD⊥OD，

∴CD是⊙O的切线．

(2)解： ①∵AC＝2，AE＝6，

∴根据勾股定理得：CE＝4，

又∵AC＝CD，∴DE＝2，

∴∠CEA＝30°，

∴tan∠CEA＝＝，

∴OD＝2.

∴⊙O的半径为2.

②∵图中阴影部分的面积可看成两部分，△DMB的面积和弓形DB的面积，

∵弧DB不变，∴三角形底边DB不变，

当M运动到优弧的中点，高最大，即面积最大．

由(1)及第(2)①得：∠DOB＝60°，当M运动到优弧的中点时，此时高经过圆心且垂直于DB，所以高的值为2＋，　

又△DOB是等边三角形，∴DB＝OB＝2，

∴S△DBM＝×2×(2＋)＝2＋，

又因为S弓形DB＝S扇形ODB－S△ODB＝－＝－，

∴图中阴影部分的面积为：S＝S弓形DB＋S△DBM＝π＋2.