Question

9．若点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，定义：d₁=$\frac{|x|+|y|}{2}$，d₂=$\sqrt{|xy|}$，若函数图象上存在使得d₁=d₂的点，不妨把这类函数称为”共享函数”．把满足要求的点称为”共享点“
（1）写出函数y=$\frac{1}{x}$的所有“共享点”的坐标．
（2）若一次函数y=kx+b（k≠±1，且k，b为常数）是”共享函数”，请求出”共享点“的坐标．（结果用k，b的代数式表示）．
（3）二次函数y=ax²+c是”共享函数”，存在四个”共享点”A，B，C，D（顺次排列），且四边形ABCD面积为1，若将二次函数y=ax²+c向上平移1个单位，恰好只有两个”共享点”，求a的值．

Answer 1

分析 （1）设P（m，$\frac{1}{m}$）是y=$\frac{1}{x}$上的共享点，根据定义列出方程即可解决问题．
（2）设P（m，km+b）是一次函数y=kx+b上的共享点．列出方程求解即可．
（3）设P（m，am²+c）是二次函数y=ax²+c上的共享点，由题意$\frac{|m|+|a{m}^{2}+c|}{2}$=$\sqrt{|m（a{m}^{2}+c）|}$，即[|m|-|am²+c||]²=0，所以|m|=|am²+c|，所以二次函数y=ax²+c上的共享点，可以看成直线y=x与y=ax²+c的交点，或直线y=-x与y=ax²+c的交点，由AC⊥BD，AC=BD，可得$\frac{1}{2}$AC•BD=1，AC=$\sqrt{2}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=a{x}^{2}+c}\end{array}\right.$消去y得ax²-x+c=0，
所以m+n=$\frac{1}{a}$，mn=$\frac{c}{a}$，由AC=$\sqrt{2}$，可得$\sqrt{2（m-n）^{2}}$=$\sqrt{2}$，即（m-n）²=1，所以（m+n）²-4mn=1，所以$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{4c}{a}$=1，得1-4ac=a²    ①，由将二次函数y=ax²+c向上平移1个单位，恰好只有两个”共享点”，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=a{x}^{2}+c+1}\end{array}\right.$消去y得到ax²-x+c+1=0，由题意△=0，得到1-4a（c+1）=0   ②由①②消去c即可解决问题．

解答 解：（1）设P（m，$\frac{1}{m}$）是y=$\frac{1}{x}$上的共享点，
由题意$\frac{|m|+|\frac{1}{m}|}{2}$=$\sqrt{|m•\frac{1}{m}|}$，
∴|m|+|$\frac{1}{m}$|=2，
解得m=±1，
∴函数y=$\frac{1}{x}$的所有“共享点”的坐标为（1，1）或（-1，-1）．

（2）设P（m，km+b）是一次函数y=kx+b上的共享点．
由题意$\frac{|m|+|mk+b|}{2}$=$\sqrt{|m（km+b）|}$，
∴（|m|-|km+b|）²=0，
∵k≠±1，
∴m=$\frac{b}{1-k}$或$\frac{b}{1+k}$．
∴共享点P坐标（$\frac{b}{1-k}$，$\frac{b}{1-k}$）或（$\frac{-b}{1+k}$，$\frac{b}{1+k}$）．

（3）设P（m，am²+c）是二次函数y=ax²+c上的共享点，
由题意$\frac{|m|+|a{m}^{2}+c|}{2}$=$\sqrt{|m（a{m}^{2}+c）|}$，
∴[|m|-|am²+c||]²=0，
∴|m|=|am²+c|，
∴二次函数y=ax²+c上的共享点，可以看成直线y=x与y=ax²+c的交点，或直线y=-x与y=ax²+c的交点，
∴AC⊥BD，AC=BD，
∴$\frac{1}{2}$AC•BD=1，
∴AC=$\sqrt{2}$，
不妨设A（m，m）、C（n，n）是y=x与y=ax²+c的交点，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=a{x}^{2}+c}\end{array}\right.$消去y得ax²-x+c=0，
∴m+n=$\frac{1}{a}$，mn=$\frac{c}{a}$，
∵AC=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2（m-n）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴（m-n）²=1，
∴（m+n）²-4mn=1，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{4c}{a}$=1，
∴1-4ac=a²    ①，
将二次函数y=ax²+c向上平移1个单位，恰好只有两个”共享点”，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=a{x}^{2}+c+1}\end{array}\right.$消去y得到ax²-x+c+1=0，由题意△=0，
∴1-4a（c+1）=0   ②
①②消去c得到a²-4a=0，
∵a≠0，
∴a=4．

点评 本题是二次函数综合题主要考查了根与系数关系等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，灵活运用根与系数关系解决问题．