Question

13．已知函数y=-3x²-2x+2，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：
（1）x≤-1；
（2）x≥1；
（3）-1≤x≤1；
（4）-2≤x≤3．

Answer 1

分析 将二次函数化为顶点式，然后根据各个小题中x的取值范围，即可判断在此范围内，y能否取得最大值或最小值，本题得以解决．

解答 解：（1）∵y=-3x²-2x+2=-3（x+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{7}{3}$，
∴函数y=-3x²-2x+2的对称轴为x=-$\frac{1}{3}$，当x$＜-\frac{1}{3}$时，y随x的增大而增大，当x$＞-\frac{1}{3}$时，y随x的增大而减小，
∴当x≤-1时，函数y=-3x²-2x+2有最大值，此时x=-1，最大值为：y=$-3（-1+\frac{1}{3}）^{2}+\frac{7}{3}$=1；
（2）∵y=-3x²-2x+2=-3（x+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{7}{3}$，
∴函数y=-3x²-2x+2的对称轴为x=-$\frac{1}{3}$，当x$＜-\frac{1}{3}$时，y随x的增大而增大，当x$＞-\frac{1}{3}$时，y随x的增大而减小，
∴当x≥1时，函数y=-3x²-2x+2有最大值，此时x=1，最大值为：y=-3；
（3）∵y=-3x²-2x+2=-3（x+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{7}{3}$，
∴函数y=-3x²-2x+2的对称轴为x=-$\frac{1}{3}$，当x$＜-\frac{1}{3}$时，y随x的增大而增大，当x$＞-\frac{1}{3}$时，y随x的增大而减小，
∴当-1≤x≤1时，函数函数y=-3x²-2x+2有最大值和最小值，当x=$-\frac{1}{3}$时，函数取得最大值，最大值为y=$\frac{7}{3}$，当x=1时，函数取得最小值，最小值为y=-3；
（4）∵y=-3x²-2x+2=-3（x+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{7}{3}$，
∴函数y=-3x²-2x+2的对称轴为x=-$\frac{1}{3}$，当x$＜-\frac{1}{3}$时，y随x的增大而增大，当x$＞-\frac{1}{3}$时，y随x的增大而减小，
∴当-2≤x≤3时，当x=$-\frac{1}{3}$时，函数取得最大值，最大值为y=$\frac{7}{3}$，当x=3时，取得最小值，最小值是y=-31．

点评 本题考查二次函数的最值，解题的关键是明确题意，将函数由一般式化为顶点式，可以确定在某一范围内函数的最值．