Question

如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动．设运动时间为x秒，△QAC的面积为y．
（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A₁B₁C₁的位置时，请你在网格中画出Rt△A₁B₁C₁关于直线QN成轴对称的图形；
（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？
（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？（说明：在（3）中，将视你解答方法的创新程度，给予1～4分的加分）

Answer 1

分析：（1）根据平移的性质与轴对称图形的性质，可得答案；
（2）根据题意，先设平移平移时间为x秒，进而可得关系式y=2x+40；（0≤x≤16）；即可得出y取得最大值和最小值时x的值；
（3）与（2）的方法类似，注意面积计算方法的不同即可．

解答：解：（1）如图1，△A₂B₂C₂是△A₁B₁C₁关于直线QN成轴对称的图形
；

（2）当△ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2），
则有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，
y=S_梯形QMBC-S_△AMQ-S_△ABC
=

1

2

（4+20）（x+4）-

1

2

×20x-

1

2

×4×4
=2x+40（0≤x≤16）．（6分）
由一次函数的性质可知：
当x=0时，y取得最小值，且y_最小=40，
当x=16时，y取得最大值，且y_最大=2×16+40=72；（8分）

（3）解法一：
当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，
此时16≤x≤32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x，
∴y=S_梯形BAQP-S_△CPQ-S_△ABC=

1

2

（4+20）（36-x）-

1

2

×20×（32-x）-

1

2

×4×4
=-2x+104（16≤x≤32）．（10分）
由一次函数的性质可知：
当x=32时，y取得最小值，且y_最小=-2×32+104=40；
当x=16时，y取得最大值，且y_最大=-2×16+104=72．（12分）
解法二：
在△ABC自左向右平移的过程中，
△QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中△QAC某一时刻的位置，
使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称．
因此，根据轴对称的性质，
只需考查△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况，
便可以知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况．（10分）（另加2分）
当x=16时，y取得最大值，且y_最大=72，
当x=32时，y取得最小值，且y_最小=40．（12分）（再加2分）

说明：（1）本题解法较多，对于其他正确解法，请参照评分标准按步骤给分；
（2）对于（3），如果学生按照解法一的方法求解，不加分．如果按照解法二利用图形变换的方法说明，可考虑加1～4分．

点评：本题考查平移的基本性质与运用：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．