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在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm.
(1)如图1,将△ABC沿某条直线折叠,使斜边的两个端点A与B重合,折痕为DE.
①试求△ACD的周长;
②若∠CAD:∠BAD=4:7,求∠B的度数.
(2)如图2,将直角边AC沿直线AM折叠,使点C恰好落在斜边AB上的点N,BN=4cm,求CM的长.
(1)依题意,得:DE垂直平分AB…(1分)
∴BD=AD…(2分)
①∴△ACD的周长=AC+CD+BD=AC+CD+BD=AC+BC…(3分)
∵AC=6cm,BC=8cm
∴△ACD的周长=6+8=14cm…(4分)
②设∠CAD=4x°,则∠BAD=7x°
∴∠BAC=∠CAD+∠BAD=11x°…(5分)
∵BD=AD
∴∠B=∠BAD=7x°…(6分)
∵∠C=90°
∴∠B+∠BAC=90°…(7分)
∴7x+11x=90,解得:x=5…(8分)
∴∠B=7x°=35°…(9分)

(2)依题意得:AM平分∠CAB,∠C=∠MNA=90°,AC=AN=6cm…(10分)
∴CM=MN,AB=BN+AN=4+6=10cm…(11分)
设CM=MN=xcm,则BM=BC-CM=(8-x)cm
S△ABM=
1
2
BM•AC=
1
2
AB•MN

1
2
•(8-x)•6=
1
2
•10•x
…(12分)
解得:x=3
∴CM=3cm.…(13分)
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1
2
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