Question

如图，在?ABCD中，点E、F分别在线段BC、AD上，且AF=BE，
（1）求证：四边形ABEF是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAD交BC于E，四边形ABEF是什么图形？并说明理由；
（3）在（2）基础上，若∠B=60°，四边形AECD是什么图形？并说明理由．

Answer 1

如图，在?ABCD中，点E、F分别在线段BC、AD上，且AF=BE，
（1）证明：∵?ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∵点E、F分别在线段BC、AD上
∴AF∥BE
∵AF=BE
∴四边形ABEF是平行四边形

（2）解：四边形ABEF是菱形
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠FAE
∵AD∥BC
∴∠BEA=∠FAE
∴∠BEA=∠BAE
∴BA=BE
∴?ABEF是菱形

（3）解：四边形AECD是等腰梯形
∵由（1）得AD∥BC
∴AD∥EC
∵AE与DC不平行
∴四边形AECD是梯形
∵BA=BE，∠B=60°
∴△ABE是等边三角形
∴AB=AE
∵在?ABCD中，AB=DC
∴AE=DC
∴梯形AECD是等腰梯形．
分析：（1）已知四边形ABCD是平行四边形，根据已知和平行四边形的性质可得到AF∥BE，已知AF=BE，从而可根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）根据已知平行四边形的性质可得到∠BEA=∠BAE，再根据等角对等边可得到BA=BE，从而可判定四边形ABEF是菱形；
（3）由已知根据有一组边平行且不相等的四边形是梯形可得到四边形AECD是梯形，由BA=BE，∠B=60°可得到△ABE是等边三角形，从而得到AB=AE，从而不难推出四边形AECD是等腰梯形．
点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定及性质，菱形的判定及等腰梯形的判定的综合运用能力．