Question

【题目】如图，抛物线的顶点D的坐标为（﹣1，4），抛物线与x轴相交于A．B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1，已知点E（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△CEF的周长最小，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，连接AD，若点P是线段OC上的一动点，过点P作线段AD的垂线，在第二象限分别与抛物线、线段AD相交于点M、N，当MN最大时，求△POM的面积．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3；(2) 存在, F（﹣1，0）,理由见解析；（3）2

【解析】

(1)根据顶点式可求得抛物线的表达式;

(2) 如图 1，作 C关于对称轴的对称点 C′，连接EC′交对称轴于 F，根据轴对称的最短路径问题, CF+EF的值最小，则△CEF的周长最小;

(3)如图2,先利用待定系数法求AD的解析式为: y＝2x+6,设M（m，﹣m2﹣2m+3），则G（m，2m+6），（﹣3≤m≤﹣1）,证明△MNG∽△AHD,列比例式可得MN的表达式,根据配方法可得当m=-2时,MN有最大值,证明△MCP∽△DHA,同理得PC的长,从而得OP的长,根据三角形的面积公式可得结论,并将m=-2代入计算即可

（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2+4，

把x＝0，y＝3代入得：3＝a（0+1）2+4，解得：a＝﹣1

∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；

（2）存在．如图 1，作 C关于对称轴的对称点 C′，连接EC′交对称轴于 F，此时 CF+EF的值最小，则△CEF的周长最小．

∵C（0，3），

∴C′（﹣2，3），易得C′E的解析式为：y＝﹣3x﹣3，

当x＝﹣1时，y＝﹣3×（﹣1）﹣3＝0，

∴F（﹣1，0）

（3）如图2，∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），

易得AD的解析式为：y＝2x+6，

过点D作DH⊥x轴于H，过点M作MG⊥x轴交AD于G，

AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2，DH＝4，∴AD＝ ，

设M（m，﹣m2﹣2m+3），则G（m，2m+6），（﹣3≤m≤﹣1），

∴MG＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3，

由题易知△MNG∽△AHD，

∴

即

∵

∴当m＝﹣2时，MN有最大值；

此时M（﹣2，3），又∵C（0，3），连接MC

∴MC⊥y轴

∵∠CPM＝∠HAD，∠MCP＝∠DHA＝90°，

∴△MCP∽△DHA，

∴

即

∴PC＝1

∴OP＝OC﹣PG＝3﹣1＝2，

∴S△POM＝ ＝2，