Question

5．已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为a，当△ABC面积最大时，则其周长的最小值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$a（用含a的代数式表示）．

Answer 1

分析 设BC上的高为x，则BC=a-x，△ABC的面积为S，S=$\frac{1}{2}$x（a-x），根据二次函数的顶点坐标，可得出x的值，过点A作直线l∥BC，再作出点B关于直线l的对称点E，连接CE，交l于点F，从而得出周长的最小值．

解答 解：设BC上的高为x，
∵边BC的长与BC边上的高的和为a，
∴BC=a-x，
设△ABC的面积为S，
∴S=$\frac{1}{2}$x（a-x）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$ax，
∵当△ABC面积最大时，
∴x=$\frac{1}{2}$a，
∴BC=$\frac{1}{2}$a，
过点A作直线l∥BC，再作出点B关于直线l的对称点E，连接CE，交l于点F，
当点A与点F重合时，△ABC周长的最小值，
∴BG=GE=AD=$\frac{1}{2}$a，
∴BE=a，
∴CE=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴△ABC的最小周长=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$a，
故答案为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$a．

点评 本题考查了二次函数的最值问题，是一道二次函数的综合题，还考查了二次函数的解析式以及顶点的运用，轴对称的应用，正确运用轴对称是解题的关键．