Question

如图，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，F是BC的中点，AF与DE相交于G，BD和AF相交于H，那么四边形BEGH的面积是（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  2

  5

• C、

  7

  15

• D、

  8

  15

Answer 1

分析：根据BC∥AD，可证△ADH∽△FBH，可以计算△ADH的面积，根据△AEG∽△DEA可以求△AEG的面积，即可解题．

解答：解：∵BC∥AD，
∴△BFH∽△DAH，且相似比为1：2，
∴△ADH的面积为

1

2

×2×

4

3

=

4

3

，△FBH的面积为

1

2

×1×

2

3

=

1

3

，
又∵

AB=AD ∠ABF=∠DAE AE=BF

，
∴△ABF≌△DAE，（SAS）
∴∠BAF=∠ADE，∠BAF+∠AEG=90°，
∴∠AGE=90°，
∴△AEG∽△EDA，
∴

EG

AG

=

AE

AD

，

AG

AD

=

AE

DE

，
解得AG=

2 5

5

，EG=

5

5

，
∴△AEG的面积=

1

5

，
∴四边形BEGH=

1

2

×2×2-

1

5

-

4

3

=

7

15

．
故选C．

点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性质，本题中求△AEG，△ABH的面积是解题的关键，难度较大，注意知识点的融会贯通．