Question

9．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为-1、3，则下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c＜0；④对于任意x均有ax²-a+bx-b＞0，其中正确的个数有（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＜0进而解答即可．

解答 解：根据图象可得：抛物线开口向上，则a＞0．抛物线与y交与负半轴，则c＜0，对称轴和x轴的正半轴相交，所以a，b异号，即b＜0，
故①abc＞0正确；
对称轴：x=-$\frac{b}{2a}$＞0，
∵它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0），
∴对称轴是x=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b+2a=0，
故②2a+b=0正确；
把x=2代入y=ax²+bx+c=4a+2b+c，由图象可得4a+2b+c＜0，
故③4a+2b+c＜0正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x=1时，y的最小值为a+b+c，∴对于任意x均有ax²+bx≥a+b，
即ax²-a+bx-b＞0故④正确；
故选D．

点评 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．