Question

已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．
（1）若∠P=40°，求∠COD；
（2）若PA=10cm，求△PCD的周长．

Answer 1

分析：（1）连接OA、OE、OB，根据切线的性质可以得到：∠PAO=∠PBO=90°，则∠AOB的度数即可求解，然后利用切线长定理可以证得：∠COD=∠EOC+∠EOD=

1

2

∠AOE+

1

2

∠BOE=

1

2

∠AOB，据此即可求解；
（2）利用切线长定理可以得到：CE=CA，DE=DB，PA=PB，则△PCD的周长是：PC+PD+CD=PC+CE+PD+DB=PC+CA+PD+DB=PA+PB=2PA，据此即可求解．

解答：解：（1）连接OA、OE、OB．
∵PA，PB，分别切⊙O于A，B．
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=360°-∠P-∠PAO-∠PBO=360°-40°-90°-90°=140°．
∵CA、CE是圆的切线，
∴∠ACO=∠ECO，∠OAC=∠OEC=90°，
∴∠AOC=∠EOC=

1

2

∠AOE，
同理，∠EOD=

1

2

∠BOE，
∴∠COD=∠EOC+∠EOD=

1

2

∠AOE+

1

2

∠BOE=

1

2

∠AOB=70°．
（2）∵PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，
∴CE=CA，DE=DB，PA=PB．
∴△PCD的周长是：PC+PD+CD=PC+CE+PD+DB=PC+CA+PD+DB=PA+PB=2PA=2×10=20cm．

点评：本题考查了圆的切线性质，以及切线长定理，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．