【题目】在一条直线上依次有A、B、C三个港口,甲、乙两船同时分别从A、B港口出发,沿直线匀速驶向C港,最终到达C港.设甲、乙两船行驶x(h)后,与B港的距离分别为y1 、y2 (km), y1 、y2 与x的函数关系如图所示.
(1)填空:A、C两港口间的距离为_______km, _______;
(2)求图中点P的坐标;
(3)若两船的距离不超过8km时能够相互望见,求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围.
【答案】(1)120,2;(2)(1,30);(3)≤x≤
或
≤x≤
【解析】
(1)由甲船行驶的函数图象可以看出,甲船从A港出发,0.5h后到达B港,ah后到达C港,又由于甲船行驶速度不变,则可以求出a的值;
(2)分别求出0.5h后甲乙两船行驶的函数表达式,联立即可求解;
(3)将该过程划分为0≤x≤0.5、0.5<x≤1、x>1三个范围进行讨论,得到能够相望时x的取值范围.
解:(1)A、C两港口间距离s=30+90=120(km),
又由于甲船行驶速度不变,
故30÷0.5=60(km/h),
则a=2(h).
(2)由点(3,90)求得,y2=30x.
当0.5<x≤2时,设解析式为y1=ax+c,
由点(0.5,0),(2,90)则,
解得:
∴y1=60x-30,
当y1=y2时,60x-30=30x,解得,x=1.
此时y1=y2=30.
所以点P的坐标为(1,30).
(3)))①当x≤0.5时,依题意,(-60x+30)+30x≤8.解得,x≥ .不合题意.
②当0.5<x≤1时,依题意,30x-(60x-30)≤8
解得,x≥.所以
≤x≤1.
③当1<x≤2时,依题意,(60x-30)-30x≤8
解得,x≤.所以1<x≤
④当2<x≤3时,甲船已经到了而乙船正在行驶,
∵90-30x≤8,解得x≥ ,
所以,当 ≤x≤3,甲、乙两船可以相互望见;
综上所述,当≤x≤
或
≤x≤
时, 甲、乙两船可以相互望见.
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【题目】如图,已知∠BAC=65°,D为∠BAC内部一点,过D作DB⊥AB于B,DC⊥AC于C,设点E、点F分别为AB、AC上的动点,当△DEF的周长最小时,∠EDF的度数为_____.
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【题目】如图,有一块含30°角的直角三角板OAB的直角边BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等,把这两块三角板放置在平面直角坐标系中,且OB=3.
(1)若某反比例函数的图象的一个分支恰好经过点A,求这个反比例函数的解析式;
(2)若把含30°角的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后,斜边OA恰好落在x轴上,点A落在点A′处,试求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
【答案】(1)反比例函数的解析式为y=;(2)S阴影=6π-
.
【解析】分析:(1)根据tan30°=,求出AB,进而求出OA,得出A的坐标,设过A的双曲线的解析式是y=
,把A的坐标代入求出即可;(2)求出∠AOA′,根据扇形的面积公式求出扇形AOA′的面积,求出OD、DC长,求出△ODC的面积,相减即可求出答案.
本题解析:
(1)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,OB=3,
∴AB=OB·tan 30°=3.
∴点A的坐标为(3,3).
设反比例函数的解析式为y= (k≠0),
∴3=
,∴k=9
,则这个反比例函数的解析式为y=
.
(2)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,AB=3,
sin ∠AOB=,即sin 30°=
,
∴OA=6.
由题意得:∠AOC=60°,S扇形AOA′==6π.
在Rt△OCD中,∠DOC=45°,OC=OB=3,
∴OD=OC·cos 45°=3×
=
.
∴S△ODC=OD2=
=
.
∴S阴影=S扇形AOA′-S△ODC=6π-.
点睛:本题考查了勾股定理、待定系数法求函数解析式、特殊角的三角函数值、扇形的面积及等腰三角形的性质,本题属于中档题,难度不大,将不规则的图形的面积表示成多个规则图形的面积之和是解答本题的关键.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】矩形ABCD一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得点B落在CD边上的点P处.
(1)如图①,已知折痕与边BC交于点O,连接AP,OP,OA.
① 求证:△OCP∽△PDA;
② 若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长.
(2)如图②,在(1)的条件下,擦去AO和OP,连接BP.动点M在线段AP上(不与点P,A重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问动点M,N在移动的过程中,线段EF的长度是否发生变化?若不变,求出线段EF的长度;若变化,说明理由.
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【题目】甲、乙两位同学玩摸球游戏,准备了甲、乙两个口袋,其中甲口袋中放有标号为1,2,3,4,5的5个球,乙口袋中放有标号为1,2,3,4的4个球.游戏规则:甲从甲口袋摸一球,乙从乙口袋摸一球,摸出的两球所标数字之差(甲数字﹣乙数字)大于0时甲胜,小于0时乙胜,等于0时平局.你认为这个游戏规则对双方公平吗?请说明理由.若不公平,请你对本游戏设计一个对双方都公平的游戏规则.
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【题目】在日历上我们可以发现其中某些数满足一定的规律.如图是2018年8月份的日历,我们任意选择其中所示的方框部分,将方框部分中的4个位置的数交叉相乘,再相减,如8×16-9×15=-7,19×27-20×26=-7,不难发现结果都是-7.
(1)请你再选择一组数按上面的方式计算,看看是否符合这个规律.并用你擅长的表达方式描述这个规律.
(2)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明.
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【题目】已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,且AB∶BC∶CD∶DA=20∶15∶9∶8,四边形A′B′C′D′的周长为26,求四边形A′B′C′D′各边的长.
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【题目】如图,已知直线PT与⊙O相交于点T,直线PO与⊙O相交于A,B两点.已知∠PTA=∠B.
(1)求证:PT是⊙O的切线;
(2)若PT=6,PA=4,求⊙O的半径;
(3)若PT=TB=,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,已知正比例函数y=2x与反比例函数y=(k>0)的图象交于A、B两点,且点A的横坐标为4,
(1)求k的值;
(2)根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围;
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线y=(k>0)于P、Q两点(P点在第一象限),若由点A、P、B、Q为顶点组成的四边形面积为224,求点P的坐标.
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