Question

【题目】定义：有两条边长的比值为的直角三角形叫做“魅力三角形”我们知道，命题“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”是一个真命题，所以“含30°角的直角三角形”就是一个“魅力三角形”

（1）设“魅力三角形”较短直角边为a，较长直角边为b，请你直接写出的值．

（2）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，D是AB的中点，点E在CD上，满足AD＝DE，连结AE，过点D作DF∥AE交BC于点F

①如果点E是CD的中点，求证：△BDF是“魅力三角形”

②如果△BDF是“魅力三角形”，且BF＝BC，求线段AC的长

（二次根式运算提示：（）2＝n2（）2＝n2a，比如：（4）2＝42（）2＝16×3＝48）

Answer 1

【答案】（1）或2;（2）①见解析;②AC的长为2或10或2或．

【解析】

（1）设斜边长为c，分两种情况①当时，c=2a，由勾股定理求出b，即可得出的值；
②当时，b=2a，即可得出的值；

（2）①证出∠BCD=30°，得出∠BDC=60°，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠EDF=∠BDF=30°，由直角三角形的性质得出BF=DF，即可得出结论；
②分四种情况 当=时，求出BD=BF=1，得出AB=2BD=2，由勾股定理得出AC==2；
当=时，求出BD=2BF=4，得出AB=2BD=8，由勾股定理AC==10；
当=时，求出DF=2BF=4，由勾股定理得出BD==2，得出AB=2BD=4，由勾股定理得出AC==2；
当=时，由勾股定理求出BD=，得出AB=2BD=，由勾股定理得出AC==即可．

（1）解：设斜边长为c，分两种情况：

①当时，c＝2a，

则b＝，

∴＝＝；

②当时，b＝2a，

∴＝2；

综上所述，的值为或2；

（2）①证明：∵D是AB的中点，

∴AD＝BD，

∵AD＝DE，

∴BD＝DE，

∵点E是CD的中点，

∴DE＝CD，

∴BD＝CD，

∵∠B＝90°，

∴∠BCD＝30°，

∴∠BDC＝60°，

∵DF∥AE，

∴∠DEA＝∠EDF，∠DAE＝∠BDF，

∵AD＝DE，

∴∠DAE＝∠DEA，

∴∠EDF＝∠BDF＝30°，

∴BF＝DF，

∴＝，

∴△BDF是“魅力三角形”；

②解：分四种情况：

当=时，

∵BF＝BC，BC＝6，

∴BF＝2，

∴BD＝BF＝1，

∵D是AB的中点，

∴AB＝2BD＝2，

∴AC＝＝＝2；

当=时，

∵BF＝BC，BC＝6，

∴BF＝2，

∴BD＝2BF＝4，

∵D是AB的中点，

∴AB＝2BD＝8，

∴AC＝＝＝10；

当=时，

∵BF＝BC，BC＝6，

∴BF＝2，

∴DF＝2BF＝4，

∴BD===2，

∵D是AB的中点，

∴AB＝2BD＝4，

∴AC==2；

当=时，

∴DF＝2BD，

∵BF＝BC，BC＝6，

∴BF＝2，

由勾股定理得：DF2﹣BD2＝BF2，即（2BD）2﹣BD2＝22，

解得：BD=，

∴AB＝2BD＝，

∴AC＝

＝＝；

综上所述，如果△BDF是“魅力三角形”，且BF＝BC，线段AC的长为2或10或2或．