Question

1．如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为S，射线平移到O′C′，且O′C′与OA相交于点G．

（1）求S关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，以G、O、B为顶点的三角形为等腰三角形；
（3）当x=3时，在直线O′C′是否存在点P，使得△POB绕着某一边的中点旋转180°后得到一个矩形？若存在，求P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠AOC=90°进而得出△OO'G是等腰直角三角形，用三角形的面积公式即可得出结论；
（2）先表示出OG，BG，然后分三种情况利用两边相等建立方程求解即可；
（3）先判断出△POB是直角三角形，利用直角三角形的性质即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）∵AB=OB=8，∠ABO=90°，
∴∠AOB=45°，
∴∠yOA=45°，
∵∠yOC=45°，
∴∠AOC=90°，
∴△OO'G是等腰直角三角形，
由平移知，OO'=2x，
在Rt△OO'G中，OG=O'G=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OO'=$\sqrt{2}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$OG²=x²（0＜x≤4）；
（2）由（1）知，△OO'G是等腰直角三角形，OO'=2x，
∴G（x，x），∵O（0，0），B（8，0）
∴OB=8，OG=$\sqrt{2}$x，BG=$\sqrt{（x-8）^{2}+{x}^{2}}$，
∵以G、O、B为顶点的三角形为等腰三角形；
∴①当OB=OG时，
∴8=$\sqrt{2}$x，
∴x=4$\sqrt{2}$（舍）
②当OB=BG时，
∴8=$\sqrt{（x-8）^{2}+{x}^{2}}$，
∴x=0（舍）或x=8（舍），
③当OG=BG时，
∴$\sqrt{2}$x=$\sqrt{（x-8）^{2}+{x}^{2}}$，
∴x=4，
即：x=4时，以G、O、B为顶点的三角形为等腰三角形；
（3）存在，
理由：如图2，由（2）知，G（x，x），
当x=3时，OO'=6，
∴O'（6，0），G（3，3），
∴直线O'C'的解析式为y=-x+6，
∵直线O′C′上的点P，使得△POB绕着某一边的中点旋转180°后得到一个矩形，
∴△POB是直角三角形，
①当∠POB=90°时，P₁（0，6），
②当∠PBO=90°时，令x=8，则y=-8+6=-2，
∴P₂（8，-2），
③当∠OPB=90°时，点P是以OB为直径的圆与O'C'的交点，
设P（m，-m+6），
∵B（8，0），
∴OB的中点M（4，0），
∴PM=$\sqrt{（m-4）^{2}+（-m+6）^{2}}$，
∵AB是△POB是直角三角形的斜边，
∴PM=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴$\sqrt{（m-4）^{2}+（-m+6）^{2}}$=4，
∴m²-10m+18=0，
∴m=$\frac{10±\sqrt{100-18×4}}{2}$=5±$\sqrt{7}$，
∴P（5-$\sqrt{7}$，1+$\sqrt{7}$），P₃（5+$\sqrt{7}$，1-$\sqrt{7}$），
即：△POB绕着某一边的中点旋转180°后得到一个矩形时，点P的坐标为（0，6）、（8，-2）、（5-$\sqrt{7}$，1+$\sqrt{7}$），（5+$\sqrt{7}$，1-$\sqrt{7}$）．

点评 此题是身边那些综合题，主要考查了平移的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，矩形的性质；解（1）的关键是判断出△OO'G是等腰直角三角形，解（2）的关键是表示出OB，BG，OG的长，解（3）的关键是判断出△POB是直角三角形，此题还用到方程的思想解决问题，是一道很好的中考常考题．