Question

如图（1）所示，OP是∠MON的平分线，

（1）请你利用图（1）画出公共边在角平分线OP上的两个全等三角形并将添加的全等条件标注在图上． 
（2）如图（2），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线交于F，试判断FE与FD之间的数量关系．
（3）如图（3），在△ABC中，若∠ACB≠90°，而（1）中其他条件不变，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．

Answer 1

分析：（1）只要使OB=OC即可作出全等的三角形；
（2）在AC上截取AG=AE，连接FG，易证△EAF≌△GAF，证得FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°，然后证明△FDC≌△FGC，得到FD=FG，从而证明FE=FD；
（3）与（2）的证明类似，首先证明△EAF≌△GAF，证得FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°，然后证明△FDC≌△FGC，即可得到．

解答：解：（1）如以上两图（1）都可以．   
（2）如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中

AE=AG ∠EAF=∠FAG AF=AF

∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°．
∴∠GFC=180°-60°-60°=60°．
又∵∠DFC=∠EFA=60°，
∴∠DFC=∠GFC．
在△FDC和△FGC中

∠DFC=∠GFC FC=FC ∠FCG=∠FCD

∴△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD=FG．
∴FE=FD．    
（3）结论FE=FD仍成立．
同（2）可得△EAF≌△HAF，
∴FE=FH，∠EFA=∠HFA，
又由（1）可知∠FAC=

1

2

∠BAC，∠FCA=

1

2

∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA=

1

2

（∠BAC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠B）=60°，
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=120°，
∴∠EFA=∠HEA=180°-120°=60°，
同（2）可得△FDC≌△FHC，
∴FD=FH，
∴FE=FD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确构造全等的三角形，理解三个小题之间的联系是本题的关键．