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【题目】尝试探究:如图,在中,EF分别是BCAC上的点,且,则______

类比延伸:如图,若将图中的绕点C顺时针旋转,则在旋转的过程中,值是否发生变化?请仅就图的情形写出推理过程;

拓展运用:若,在旋转过程中,当BEF三点在同一直线上时,请直接写出此时线段AF的长.

【答案】1;(2)不变化,理由见解析;(3AF的长为3-3+

【解析】

1)根据直角三角形30°角的性质即可解决问题;
2)只要证明ACF∽△BCE,可得 ,由此即可解决问题;
3)分两种情形画出图形分别解决问题即可;

1)如图①中,

∵在ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°EFAB
∴∠CFE=A=30°
CF=ECAC=BC
AF=AC-CF=BC-EC=BC-EC=BE
=
故答案为
2)不变化,
理由如下:如图②中,

由(1)及旋转的性质知,∠CFE=CAB=30°
FCE=ACB=90°
RtCEF中,tanCEF==
RtCBA中,tanABC= =

又∵∠FCE=ACB=90°,∠FCA+ACE=FCE
ACE+BCE=ACB
∴∠FCA=ECB
∴△ACF∽△BCE
=
3)①如图,由△ECB∽△FCA,可得:AFBE=CFEC=

BE=a,则AF=a
BEF共线,
∴∠BEC=AFC=120°
∵∠EFC=30°
∴∠AFB=90°
RtABF中,AB=2BC=6AF=aBF=EF+BE=4+a
∴(a2+4+a2=62
a=-1+-1-(舍弃),
AF=a=3-
②如图,当EBF共线时,同法可证:AF=BE,∠AFB=90°

RtABF中,62=4-a2+a2
解得a=1+1-(舍弃),
AF=a=3+
AF的长为3-3+

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【题目】如图①,在平面直角坐标系中,二次函数yx2+bx+c的图象与坐标轴交于ABC三点,其中点A的坐标为(﹣30),点B的坐标为(40),连接ACBC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时,动点Q从点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒.连接PQ

1)填空:b c

2)在点PQ运动过程中,△APQ可能是直角三角形吗?请说明理由;

3)点M在抛物线上,且△AOM的面积与△AOC的面积相等,求出点M的坐标。

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【题目】已知在△ABC中,AB=AC=5BC=6ADBC边上的中线,四边形ADBE是平行四边形.

1)求证:四边形ADBE是矩形;

2)求矩形ADBE的面积.

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【题目】 ABCD的两条弦,直线ABCD互相垂直,垂足为点E,连接AD,过点B,垂足为点F,直线BF交直线CD于点G

(1)如图1当点E外时,连接,求证BE平分∠GBC

(2)如图2当点E内时,连接ACAG,求证:AC=AG

(3)(2)条件下,连接BO,若BO平分,求线段EC的长.

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【题目】RtABC中,∠ACB90°,AC1,记∠ABCα,点D为射线BC上的动点,连接AD,将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE,过点AAD的垂线,与射线DE交于点P,点B关于点D的对称点为Q,连接PQ

1)当△ABD为等边三角形时,

①依题意补全图1

PQ的长为   

2)如图2,当α45°,且BD时,求证:PDPQ

3)设BCt,当PDPQ时,直接写出BD的长.(用含t的代数式表示)

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【题目】如图,在□ABCD中,∠ABD=90°,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE

1)求证:四边形BECD是矩形;

2)连接DEBC于点F,连接AF,若CE=2,∠DAB=30°,求AF的长.

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【题目】M(﹣1),N1)是平面直角坐标系xOy中的两点,若平面内直线MN上方的点P满足:45°≤MPN≤90°,则称点P为线段MN的可视点.

1)在点A422)中,线段MN的可视点为   

2)若点B是直线yx上线段MN的可视点,求点B的横坐标t的取值范围;

3)直线yx+bb≠0)与x轴交于点C,与y轴交于点D,若线段CD上存在线段MN的可视点,直接写出b的取值范围.

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【题目】如图,PA⊙O相切于点A,过点AAB⊥OP,垂足为C,交⊙O于点B.连接PBAO,并延长AO⊙O于点D,与PB的延长线交于点E

(1)求证:PB⊙O的切线;

(2)OC=3AC=4,求PB的长.

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【题目】如图,已知多边形ABCDEF中,ABAFDCDEBCEF,∠ABC=∠BCD.请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求画图.

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(2)在图②中,若多边形ABCDEF是正六边形,试在AF上画出点M,使得AMAF

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