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7.如图1,在△ABC中,∠C=90°,AB=1,∠A=α,则cosα=$\frac{AC}{AB}=AC$,现将△ABC沿AC折叠,得到△ADC,如图2,易知B、C、D三点共线,∠DAB=2α(其中0°<α<45°).
过点D作DE⊥AB于点E.
∵∠DCA=∠DEA=90°,∠DFC=∠AFE,
∴∠BDE=∠BAC=α,
∵BD=2BC=2sinα,
∴BE=BD•sinα=2•sinα•sinα=2sin2α,
∴AE=AB-BE=1-2sin2α,
∴cos2α=cos∠DAE=$\frac{AE}{AD}=\frac{1-2si{n}^{2}α}{1}=1-2si{n}^{2}α$.
阅读以上内容,回答下列问题:
(1)如图1,若BC=$\frac{1}{3}$,则cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,cos2α=$\frac{7}{9}$;
(2)求出sin2α的表达式(用含sinα或cosα的式子表示).

分析 (1)先根据勾股定理计算出AC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,则根据正弦和余弦的定义得到cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,sinα=BC=$\frac{1}{3}$,然后根据题中的结论cos2α=1-2sin2α进行计算;
(2)根据三角函数的定义,在Rt△BDE中得到cos∠BDE=$\frac{DE}{BD}$,则DE=2sinα•cosα,然后在Rt△ADE中得到sin∠DAE=$\frac{DE}{AD}$,即有sin2α=2sinα•cosα.

解答 解:(1)在Rt△ABC中,∵AB=1,BC=$\frac{1}{3}$,
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
∴cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
sinα=BC=$\frac{1}{3}$,
∴cos2α=1-2×($\frac{1}{3}$)2=$\frac{7}{9}$;
故答案为:$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,$\frac{7}{9}$;

(2)根据题意得BD=2sinα,∠BDE=α,
在Rt△BDE中,∵cos∠BDE=$\frac{DE}{BD}$,
∴DE=BD•cosα=2sinα•cosα,
在Rt△ADE中,∵sin∠DAE=$\frac{DE}{AD}$,
∴sin2α=$\frac{2sinα•cosα}{1}$=2sinα•cosα.

点评 本题考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.也考查了阅读理解能力.

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