Question

抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等．直线y=3x-7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM上运动（点P不与点B、M重合），设OQ的长为t，四边形PQOC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围．
（3）对于二次三项式x²-10x+36，小明同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11．你是否同意他的说法？说明你的理由．

Answer 1

解：（1）①x=0和x=2时y的值相等，
∴抛物线的对称轴为x=1，
又∵抛物线的顶点M在直线y=3x-7上，
∴M（1，-4），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-4，
∵直线y=3x-7与抛物线的另一个交点为（4，5），
代入y=a（x-1）²-4，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）²-4
即为：y=x²-2x-3．

（2）由y=x²-2x-3可得出，
C（0，-3），B（3，0），M（1，-4），
设直线BM的解析式为y=kx+b，把B、M两点代入求得，
直线BM的解析式为y=2x-6，
∴P（t，2t-6），QP=6-2t，CO=3，QO=t，
∴S_梯形PQOC=（6-2t+3）t=-t²+t，
因此S=-t²+t，（1＜t＜3）．

（3）不同意他的观点．
假设x²-10x+36=11，
解得x₁=x₂=5，
∴当X=5时x²-10x+36等于11，
因此无论x取什么实数，x²-10x+36的值都不可能等于11的说法是错误的．
分析①利用二次函数的对称性求出对称轴，再求出M点的坐标，设出顶点式，代入另一点可求出；
②利用抛物线的解析式，求出C、B、M点的坐标，进一步求直线BM的解析式，用t表示出P点，最后用梯形的面积计算公式解答．
假设二次三项式x²-10x+36=11，如果求出方程有解，就说明小明的说法不正确．
点评：此题利用二次函数的对称性、待定系数法、面积计算公式等知识来解决，渗透数形结合的思想．