Question

8．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE交BD于P点，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，且A、C、B在同一直线上，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③∠APD=60°；④∠APC=60°，其中正确个数是（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 利用边角边即可证明△ACE与△DCB全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠CAM=∠CDN，再利用角边角证明△ACM≌△DCN，根据全等三角形对应边相等可得CM=CN，DN=AM，同理可证明△BCN≌△ECM，根据三角形外角性质推出∠APD=60°，然后推出点A，C，P，D四点共圆，根据圆周角定理即可得到∠APC=60°．

解答 解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠DCB=120°，
在△ACE与△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CB=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS），故①正确；
∴∠CAM=∠CDN，
在△ACM与△DCN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠CDN}\\{AC=DC}\\{∠ACM=∠DCN=60°}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，故②正确；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠DBC，
∵∠ECB=60°，
∴∠EAC+∠AEC=∠ECB=60°，
∴∠APD=∠EAC+∠ABP=∠EAC+∠AEC=60°，∴③正确；
∵∠APD=∠ACD=60°，
∴点A，C，P，D四点共圆，
∴∠APC=∠ADC=60°，∴④正确；
故选A．

点评 本题考查了等边三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，综合性比较强．