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    正三角形的内切圆的面积与外接圆的面积之比是


    1. A.
      1：5
    2. B.
      1：4
    3. C.
      1：3
    4. D.
      1：2
    B
    分析：首先根据题意作图，易得点O即是△ABC的外心，又是⊙O的内心，且外接圆的半径为OB，内接圆的半径为OD，AD⊥BC，然后由直角三角形的性质，得到OD=OB，继而求得答案．
    解答：解：如图，△ABC为等边三角形，AD为角平分线，⊙O为△ABC的内切圆，连OB，如图，
    ∵△ABC为等边三角形，⊙O为△ABC的内切圆，
    ∴点O即是△ABC的外心，又是⊙O的内心，且外接圆的半径为OB，内接圆的半径为OD，AD⊥BC，
    ∴∠OBC=30°，
    在Rt△OBD中，OD=OB，
    ∴正三角形的内切圆的面积与外接圆的面积之比是：πOD2：πOB2=1：4．
    故选B．
    点评：此题考查了三角形的内切圆与外接圆的性质以及等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
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    如图①，当n=3时，设AB切圆O于点C，连接OC，OA，OB，∴OC⊥AB，OA=OB，∴∠AOC=
    1
    2
    AOB    ，AB=2BC．
    在Rt△AOC中，∵∠AOC=
    1
    2
    •
    360°
    3
    =60°    ，OC=r，∴AC=r•tan60°，AB=2r•tan60°，∴S△OAB=
    1
    2
    •r•2rtan60°=r2tan60°    ，∴S正三角形=3S△OAB=3r2•tan60°．
    （1）如图②，当n=4时，仿照（1）中的方法和过程可求得：S正四边形=
     
    ；
    （2）如图③，当n=5时，仿照（1）中的方法和过程求S正五边形；
    （3）如图④，根据以上探索过程，请直接写出S正n边形=
     
    ．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1997•江西）正三角形的内切圆的面积与外接圆的面积之比是（　　）

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    在Rt△AOC中，∵数学公式，OC=r，∴AC=r•tan60°，AB=2r•tan60°，∴数学公式，∴S正三角形=3S△OAB=3r2•tan60°．
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    （2）如图③，当n=5时，仿照（1）中的方法和过程求S正五边形；
    （3）如图④，根据以上探索过程，请直接写出S正n边形=______．

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