Question

如图，已知△ABC中，AB=AC=1，∠ABC=∠ACB=60°，点D是△ABC外一点，且BD=DC，∠DBC=∠DCB=30°，又点M、N分别在AB、AC上，∠MDN=60°，小明为探求△AMN的周长，在AC的延长线上截取了CP=BM，并连接DP，
(1)试说明：MN=NP；
(2)求出△AMN的周长．

Answer 1

 (1)∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
在△MBD和△PCD中，MB=PC，∠ABD=∠ACD，BD=CD，
∴△MBD≌△PCD(SAS)，
∴MD=PD，∠MDB=∠PDC，
又∵∠DBC=∠DCB=30°，∴∠BDC=120°，
∴∠MDB+∠MDC=120°，
∴∠PDC+∠MDC=120°，即∠PDM=120°，
又∵∠MDN=60°，∴∠PDN=60°，
∴∠MDN=∠PDN=60°，
在△MDN和△PDN中，MD=PD，∠MDN=∠PDN，DN=DN，
∴△MDN≌△PDN(SAS)，∴MN=NP；
(2)△AMN的周长：

AM+MN+AN=AM+NP+AN=AM+AP=AM+AC+CP=AM+AC+BM=AB+AC=1+1=2；
∴△AMN的周长为2．