Question

运动探究
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=10，CP⊥AB于P，顶点C从O点出发沿x轴正方向移动，顶点A随之从y轴正半轴上一点移动到点O为止．
（1）若点P的坐标为（m，n），求证：m=n；
（2）若OC=6，求点P的坐标；
（3）填空：在点C移动的过程中，点P也随之移动，则点P运动的总路径长为______．

Answer 1

解：（1）过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∵∠ACB=90°，BC=AC=10，CP⊥AB，
∴AP=BP=CP，
又∵∠PMC=∠PNA，∠CPM=∠APN=90°-∠CPN，
∴△PCM≌△PAN，
∴PM=PN，即m=n；

（2）设CM=x，则PM=x+6，
∵BC=AC=10，∴AB=10，
∴PC=5，
在Rt△PCM中，PC²=PM²+CM²，
即（5）²=（x+6）²+x²，
解得x=1或-7（舍去负数）
∴CM=1，PM=7，
∴点P的坐标（7，7）；

（3）如图，当点A与O重合时，点P到达最高点，即点Q；当点C与O重合时，点P到达最低点，即点P；
设CE=x，则AE=10-x，在直角三角形ADE中，
由勾股定理得2（10-x）²=100，
解得x=10-5，
则PQ=10-5，
故点P运动的总路径长为20-10．
故答案为20-10．
分析：（1）过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，可证明△PCM≌△PAN，则PM=PN，即m=n；
（2）设CM=x，则PE=x+6，在直角三角形PCE中，由勾股定理得出x，从而得出点P的坐标；
（3）在此动过程中，当点A与O重合时，点P到达最高点；当点C与O重合时，点P到达最低点；根据三角形全等得出PQ，点P运动的总路径长为2PQ．
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线、全等三角形的判定和性质以及勾股定理和坐标和图形的性质，是一道综合题，难度偏大．