Question

【题目】如图，正三角形ABC的边长为3+，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为（ ）

A. B. C. 3D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，根据等边三角形的性质得∠A=∠B=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得 ，，则 ，所以 ， ，接着确定m的取值范围为： ，然后根据二次函数的性质求出S的最小值．

解：设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=60°， ，

在Rt△ADN中，，

在Rt△BPF中，，

∵BD+DE+EF+CF=AB，

∴，

∴，
∴，

∴，

又∵当点M落在AC上，则正方形DEMN的边长最大，正方形EFPH的边长最小，

当点H落在BC上，则正方形DEMN的边长最小，正方形EFPH的边长最大，

∴当点M落在AC上时：

为正三角形，

在中，，，

∴ ，解得

在中，，

∵BD+DE+EF+CF=AB，

∴

解得，

∴，

∴当 时，S最小，S的最小值为 ．
故选：D．