Question

3．已知：如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF∥BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形．

Answer 1

分析 直接由SAS得出△ADE≌△ADC，进而得出DE=DC，∠ADE=∠ADC．再由SAS证明△AFE≌△AFC，得出EF=CF．由EF∥BC得出∠EFD=∠ADC，从而∠EFD=∠ADE，根据等角对等边得出DE=EF，从而DE=EF=CF=DC，由菱形的判定可知四边形CDEF是菱形．

解答 证明：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ADE和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠CAD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADC（SAS）；
∴DE=DC，∠ADE=∠ADC，
同理△AFE≌△AFC，
∴EF=CF，
∵EF∥BC
∴∠EFD=∠ADC，
∴∠EFD=∠ADE，
∴DE=EF，
∴DE=EF=CF=DC，
∴四边形CDEF是菱形．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定、平行线的性质，关键是掌握菱形的判定定理：四条边都相等的四边形是菱形．