Question

1、如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．
（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形：______，______；
（2）根据你所选的条件，证明△ABC是等腰三角形；
2、如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，给出下列三个条件：①BE=DF；②∠AEB=∠DFC；③AF∥EC．请你从中选择一个适当的条件______，使四边形AECF是平行四边形，并证明你的结论．

Answer 1

1、（1）解：∠EBO=∠DCO，OB=OC，
（2）证明：
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB又∠EBO=∠DCO，
∴∠OBC+∠EBO=∠OCB+∠DCO，
即∠ABC=∠ACB．
∴AB=AC．

2、证明：选择条件①，连AC交BD于O点，
∵平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，
∴OA=OC，OB=OD又BE=DF，
∴OE=OF．
∴AECF是平行四边形．
分析：1、有条件①④，再加上一组对顶角相等，可证△BOE≌△COD，得到一组对应角相等，而OB=OC，又能得到一组角相等，利用等角加等角和相等，可得∠ABC=∠ACB，得证．
2、连接AC交BD于O，那么能得到，OA=OC，OB=OD，再结合已知条件BE=DF，可得到OE=OF，那么就有EF，AC互相平分，即四边形AECF是平行四边形．
点评：本题利用了全等三角形的判定和性质，等角加等角和相等，以及平行四边形的判定和性质．