Question

15．如图，⊙O的直径AD长为6，AB是弦，∠A=30°，CD∥AB，且CD=$\sqrt{3}$．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）求阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）连接BD，由AD为圆的直径，得到∠ABD为直角，再利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出BD的长，根据CD与AB平行，得到一对内错角相等，确定出∠CDB为直角，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出tanC的值，即可确定出∠C的度数；
（2）连接OB，由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由CD与AB平行，得到一对同旁内角互补，求出∠ABC度数，由∠ABC-∠ABO度数确定出∠OBC度数为90，即可得证；
（3）过O作OE⊥AB，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OE的长，根据勾股定理求出AE的长，进而求出AB的长，确定出三角形OAB面积，再由扇形AOB面积减去三角形AOB面积求出阴影部分面积即可．

解答 （1）解：如图，连接BD，
∵AD为圆O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AD=3，
∵CD∥AB，∠ABD=90°，
∴∠CDB=∠ABD=90°，
在Rt△CDB中，tanC=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠C=60°；

（2）证明：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠A=30°，
∵CD∥AB，∠C=60°，
∴∠ABC=180°-∠C=120°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=120°-30°=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC为圆O的切线；

（3）解：过点O作OE⊥AB，则有OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3}{2}$，
∵AB=$\sqrt{A{D}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$AB•OE=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∵∠AOB=180°-2∠A=120°，
∴S_扇形OAB=$\frac{120×{3}^{2}π}{360}$=3π，
则S_阴影=S_扇形OAB-S_△AOB=3π-$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题考查了切线的判定，以及扇形面积的计算，涉及的知识有：圆周角定理，等腰三角形及直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．