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(2008•大兴安岭)已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明;
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.

【答案】分析:(1)BM+DN=MN成立,证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM,从而证得ME=MN.
(2)DN-BM=MN.证明方法与(1)类似.
解答:解:(1)BM+DN=MN成立.
证明:如图,把△ADN绕点A顺时针旋转90°,
得到△ABE,则可证得E、B、M三点共线(图形画正确).
∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°,
又∵∠NAM=45°,
∴△AEM≌△ANM,
∴ME=MN,
∵ME=BE+BM=DN+BM,
∴DN+BM=MN;

(2)DN-BM=MN.
在线段DN上截取DQ=BM,
在△AMN和△AQN中,

∴△AMN≌△AQN(SAS),
∴MN=QN,
∴DN-BM=MN.
点评:本题考查了旋转的性质,解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量.
练习册系列答案
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(1)请直接写出冲锋舟从A地到C地所用的时间.
(2)求水流的速度.
(3)冲锋舟将C地群众安全送到A地后,又立即去接应救生艇.已知救生艇与A地的距离y(千米)和冲锋舟出发后所用时间x(分)之间的函数关系式为y=-x+11,假设群众上下船的时间不计,求冲锋舟在距离A地多远处与救生艇第二次相遇?

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(1)请直接写出冲锋舟从A地到C地所用的时间.
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C.a,
D.

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