Question

【题目】如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD是菱形．

（2）若AC=8，AB=5，求ED的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）4-3

【解析】试题分析:(1)根据等边三角形的性质,可得EO⊥AC,即BD⊥AC,根据平行四边形的对角线互相垂直可证菱形,(2) 根据平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO,BO=DO,再根据△EAC是等边三角形可以判定EO⊥AC,并求出EA的长度,然后在Rt△ABO中,利用勾股定理列式求出BO的长度,即DO的长度,在Rt△AOE中,根据勾股定理列式求出EO的长度,再根据ED=EO-DO计算即可得解．

试题解析:(1) ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,DO=BO,

∵△EAC是等边三角形, EO是AC边上中线,

∴EO⊥AC,即BD⊥AC,

∴平行四边形ABCD是是菱形.

(2) ∵平行四边形ABCD是是菱形,

∴AO=CO==4,DO=BO,

∵△EAC是等边三角形,∴EA=AC=8,EO⊥AC,

在Rt△ABO中,由勾股定理可得:BO=3,

∴DO=BO=3,

在Rt△EAO中,由勾股定理可得:EO=4

∴ED=EO-DO=4-3.