Question

5．1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2），2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3），3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）
由以上三个等式相加，可得1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20
读完以上材料，请你计算下列各题，其中（1）需要写出过程，其它试题直接写出答案
（1）1×2+2×3+3×4+…+6×7=112
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）
（3）1×2+2×3+3×4+3×4×5+…+6×7×8=746
（4）1×2+2×3+3×4+3×4×5+…+n（n+1）×（n+2）=$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）-10．

Answer 1

分析 （1）根据题意依次列算式，再提取$\frac{1}{3}$，即可得出结果；
（2）两个连续的自然数的积等于这两个数与后面的数相乘减去这两个数与前面的数相乘的三分之一，按此规律代入计算即可；
（3）1×2+2×3+3×4根据（1）中的规律进行计算，3×4×5+…+6×7×8等，类比1×2、2×3等得出结论：3×4×5=$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5），4×5×6=$\frac{1}{4}$（4×5×6×7-3×4×5×6）…代入计算即可；
（4）类比（3）中的结论进行计算．

解答 解：（1）∵1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2），2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3），3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）
4×5=$\frac{1}{3}$（4×5×6-3×4×5），5×6=$\frac{1}{3}$（5×6×7-4×5×6），6×7=$\frac{1}{3}$（6×7×8-5×6×7）
由以上六个等式相加，可得4×5+5×6+6×7=$\frac{1}{3}$×（6×7×8-3×4×5）=92
∴1×2+2×3+3×4+…+6×7
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+…+$\frac{1}{3}$（6×7×8-5×6×7），
=$\frac{1}{3}$×6×7×8
=112；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1），
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+…+$\frac{1}{3}$[n（n+1）（n+2）-n（n-1）（n+1）]，
=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；
（3）∵3×4×5=$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5），4×5×6=$\frac{1}{4}$（4×5×6×7-3×4×5×6），
5×6×7=$\frac{1}{4}$（5×6×7×8-4×5×6×7），6×7×8=$\frac{1}{4}$（6×7×8×9-5×6×7×8），
又∵1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20，
∴1×2+2×3+3×4+3×4×5+…+6×7×8，
=20+$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5）+$\frac{1}{4}$（4×5×6×7-3×4×5×6）+$\frac{1}{4}$（5×6×7×8-4×5×6×7）+$\frac{1}{4}$（6×7×8×9-5×6×7×8），
=20+$\frac{1}{4}$×6×7×8×9-$\frac{1}{4}$×2×3×4×5，
=20+756-30，
=746；
（4）1×2+2×3+3×4+3×4×5+…+n（n+1）×（n+2），
=20+$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）-$\frac{1}{4}$×2×3×4×5，
=$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）-10．
故答案为：（1）112；（2）$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；（3）746；（4）$\frac{1}{4}$n（n+1）×（n+2）（n+3）-10．

点评 本题考查了数字类的变化规律，比较复杂，要认真观察，仔细思考；根据类比和归纳的思想进行推理，从而得出结论，并利用后面的数进行验证．