Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l是第二、四象限的角平分线．
（1）实验与探究：由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（-2，0），请在图中分别标明B（-1，5）、C（3，2）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；
（2）归纳与发现：结合图观察以上三组点的坐标，你会发现坐标平面内任一点P（a，b）关于第二、四象限的角平分线l的对称点P'的坐标为

 

（不必证明）；
（3）运用与拓展：已知两点D（-1，-3）、E（2，-4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）分别作B（-1，5）、C（3，2）关于直线l的对称点B'，C'，B'（-5，1）、C'（-2，-3）；
（2）观察以上三组点的坐标，你会发现坐标平面内任一点P（a，b）关于第二、四象限的角平分线l的对称点P'的坐标为（-b，-a）；
（3）点D关于直线l的对称点D'的坐标为（3，1），可求出点E、点D'的直线解析式为y=5x-14．点Q是直线y=5x-14与直线l：y=-x的交点，解方程组：

y=5x-14 y=-x

即可得到点Q的坐标．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）如图：（2分）
B'（-5，1）、C'（-2，-3）；（4分）

（2）P（-b，-a）；（6分）

（3）点D关于直线l的对称，
点D'的坐标为（3，1），[注：求出点E的对称点的坐标参照给分]
设过点E、点D'的直线解析式为：y=kx+b，（8分）
分别把点E、D'的坐标代入其中，
得关于k、b的二元一次方程组，
解得k=5，b=-14，（9分）
∴y=5x-14，
点Q是直线y=5x-14与直线l：y=-x的交点，（10分）
解方程组：

y=5x-14 y=-x

得

x= 7 3 y=- 7 3

，（11分）
∴点Q的坐标为（

7

3

，-

7

3

）．（12分）

点评：此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．