Question

如图，P是等腰Rt△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：

3

，则P′A：PB=

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：连接AP，根据同角的余角相等可得∠ABP=∠CBP′，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP′全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=CP′，连接PP′，根据旋转的性质可得△PBP′是等腰直角三角形，然后求出∠AP′P是直角，再利用勾股定理用AP′表示出PP′，又等腰直角三角形的斜边等于直角边的

2

倍，代入整理即可得解．

解答：解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，
∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，
∴∠ABP=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵

BP=BP′ ∠ABP=∠CBP′ AB=BC

，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP=P′C，
∵P′A：P′C=1：

3

，
∴AP=

3

P′A，
∴连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=

2

PB，
∵∠AP′B=135°，
∴∠AP′P=135°-45°=90°，
∴△APP′是直角三角形，
设P′A=x，则AP=

3

x，
根据勾股定理，PP′=

2

x，
∴PB=x，
∴P′A：PB=x：x=1：1．
故答案为1：1．

点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P′A、P′C以及P′B长度的

2

倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．