Question

【题目】如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝：2，CP：BP＝1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②＝PBEF；③PFEF＝2；④EFEP＝4AOPO．其中正确的是（　　）

A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

由条件设AD=x，AB=2x，就可以表示出CP=x，BP=x，用三角函数值可以求出∠EBC的度数和∠CEP的度数，则∠CEP=∠BEP，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论．

解：设AD=x，AB=2x

∵四边形ABCD是矩形

∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB

∴BC=x，CD=2x

∵CP：BP=1：2

∴CP=x，BP=x

∵E为DC的中点，

∴CE=CD=x，

∴tan∠CEP==，tan∠EBC==

∴∠CEP=30°，∠EBC=30°

∴∠CEB=60°

∴∠PEB=30°

∴∠CEP=∠PEB

∴EP平分∠CEB，故①正确；

∵DC∥AB，

∴∠CEP=∠F=30°，

∴∠F=∠EBP=30°，∠F=∠BEF=30°，

∴△EBP∽△EFB，

∴

∴BE·BF=EF·BP

∵∠F=∠BEF，

∴BE=BF

∴＝PB·EF，故②正确

∵∠F=30°，

∴PF=2PB=x，

过点E作EG⊥AF于G，

∴∠EGF=90°，

∴EF=2EG=2x

∴PF·EF=x·2x=8x2

2AD2=2×（x）2=6x2，

∴PF·EF≠2AD2，故③错误.

在Rt△ECP中，

∵∠CEP=30°，

∴EP=2PC=x

∵tan∠PAB==

∴∠PAB=30°

∴∠APB=60°

∴∠AOB=90°

在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得，

AO=x，PO=x

∴4AO·PO=4×x·x=4x2

又EF·EP=2x·x=4x2

∴EF·EP=4AO·PO．故④正确．

故选，B