Question

先阅读，再回答问题：
如果x₁，x₂是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么x₁+x₂，x₁x₂与系数a，b，c的关系是：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．例如x₁，x₂是方程2x²-x-1=0的两个根，则x₁+x₂=-

a

b

=

-1

2

=

1

2

，x₁x₂=

c

a

=

-1

2

=-

1

2

．
（1）若x₁，x₂是方程2x²+x-3=0的两个根，则x₁+x₂=

-

1

2

，x₁x₂

-

3

2

；
（2）若x₁，x₂是方程x²+x-3=0的两个根，求

x2

x1

+

x1

x2

的值；
（3）若x₁，x₂是方程x²+（4k+1）x+2k-1=0的两个实数根，且（x₁-2）（x₂-2）=2k-3，求k的值．

Answer 1

分析：（1）利用根与系数的关系可求出（x₁+x₂），x₁x₂的值；
（2）先求出x₁+x₂，x₁x₂的值，然后把

x2

x1

+

x1

x2

通分，再把（x₁+x₂），x₁x₂的值代入计算即可；
（3）先求出（x₁+x₂），x₁x₂的值，然后把（x₁-2）（x₂-2）=2k-3的左边展开，将其代入该关于k的方程，通过解方程来求k的值．

解答：解：（1）根据题意得x₁+x₂=-

1

2

，x₁•x₂=

-3

2

=-

3

2

；
故填：-

1

2

；-

3

2

（2）原式=

(x1+x2)2-4x1x2

x1x2

=

(- 1 2 )2-2×(- 3 2 )

- 3 2

=-

13

6

；

（3）∵x₁，x₂是方程x²+（4k+1）x+2k-1=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=-（4k+1），x₁•x₂=2k-1，
∴（x₁-2）（x₂-2）=x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4=2k-1+2（4k+1）=2k-3，
解得k=-

1

2

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，也考查了代数式的变形能力．