Question

【题目】若一个两位数十位、个位上的数字分别为，我们可将这个两位数记为，易知；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如．

（基础训练）

（1）解方程填空：

①若，则______；

②若，则______；

③若，则______；

（能力提升）

（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则一定能被______整除，一定能被______整除，+++6一定能被______整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）

（探索发现）

（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532-235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．

①该“卡普雷卡尔黑洞数”为______；

②设任选的三位数为（不妨设），试说明其均可产生该黑洞数．

Answer 1

【答案】（1）①2．②4；③7；（2）11；9；10．；（3）①495；②495

【解析】

(1)①根据，结合已知可得关于x的方程，解方程即可得；

②根据题意可得关于y的方程，解方程即可得；

③由及四位数的类似公式可得关于t的方程，解方程即可得；

(2)根据分别对、、按此表示方法进行整理即可求得答案；

(3)①若选的数为325，则用532-235=297，然后根据题中所给的规则继续计算即可求得答案；

②当任选的三位数为时，根据规则第一次运算后得，结果为99的倍数，由于，故，继而确定出a-c=2，3，4，5，6，7，8，9，从而可得第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，对这些数字根据规则继而进行运算即可求得答案.

(1)①∵，

∴若，则，

∴，

故答案为：2；

②若，则，

解得，

故答案为：4；

③由及四位数的类似公式得

若，

则，

∴100t=700，

∴，

故答案为：7；

(2)∵，

∴则一定能被 11整除，

∵，

∴一定能被9整除，

∵

，

∴一定能被10整除，

故答案为：11；9；10；

(3)①若选的数为325，则用532-235=297，以下按照上述规则继续计算，

，

，

，

，

故答案为：495；

②当任选的三位数为时，第一次运算后得：

，

结果为99的倍数，由于，故，

∴，又，

∴，

∴，3，4，5，6，7，8，9，

∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，

再让这些数字经过运算，分别可以得到：

，，，，…故都可以得到该黑洞数495．