Question

【题目】如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，经过点C的⊙O与△ABC的每条边都相交．⊙O与AC边的另一个公共点为D，与BC边的另一个公共点为E，与AB边的两个公共点分别为F、G．设⊙O的半径为r．

（操作感知）

（1）根据题意，仅用圆规在图①中作出一个满足条件的⊙O，并标明相关字母；

（初步探究）

（2）求证：CD2+CE2＝4r2；

（3）当r＝8时，则CD2+CE2+FG2的最大值为　 　；

（深入研究）

（4）直接写出满足题意的r的取值范围；对于范围内每一个确定的r的值，CD2+CE2+FG2都有最大值，每一个最大值对应的圆心O所形成的路径长为　 　．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）48；（4）．

【解析】

（1）根据要求画出图形即可（如图①所示）；

（2）如图②中，连接．利用勾股定理即可解决问题；

（3）因为是定值，是的弦，的半径为定值 8，所以弦心距越小则弦越长，圆心在以为圆心8为半径的圆上，当时，到距离最短，此时最大，由此即可解决问题；

（4）首先确定的范围．圆心距离最近时的值最大，当半径比较小时，在上时的值最大，当圆心在 上，圆正好经过点时，设，在△中，则有，解得，当时，若还在上，则点在圆内，圆不与边相交，推出此时圆心应该是在中垂线上，推出时，在上，时，在中垂线上，则的值最大，推出路径如下图折线．

（1）解：如图①即为所求，

（2）证明：如图②中，连接DE．

∵∠DCE＝90°，

∴DE为⊙O直径，即DE＝2r，

∴CD2+CE2＝DE2＝4r2，

（3）解：如图③中，

∵CD2+CE2是定值，FG是⊙O的弦，⊙O的半径为定值 8，

∴弦心距越小则弦FG越长，圆心O在以C为圆心8为半径的圆上，

当CO⊥AB时，O到AB距离最短，此时FG最大，

∵ ，

∴CH＝＝12，

∵OC＝8，

∴OH＝4，

OH⊥FG，

∴，

∴，

∴CD2+CE2+FG2的最大值＝．

故答案为：448．

（4）如图④中，

当⊙O1 与AB相切时，⊙O1的直径最小，最小值为12，此时r＝6，

当圆心O2在AB上时，圆直径最大等于AB＝25，

∴，

∵圆心距离AB最近时CD2+CE2+FG2的值最大，

当半径比较小时，O在CH上时CD2+CE2+FG2的值最大，

当圆心在CH 上，圆正好经过点A时，设O0A＝O0C＝r，

在Rt△AO0H中，则有r2＝（12﹣r）2+92，

解得：，

∴，

当时，若O还在CH上，则A点在圆内，圆不与AB边相交，

∴此时圆心应该是在AC中垂线上，

∴时，O在CH上，

时，O在AC中垂线上，则CD2+CE2+FG2的值最大，

∴O路径如下图折线 O1﹣O0﹣O2

∵O1H＝6，，

∴，

∵，AH＝9，

∴，

∴，

∴O点路径长＝．

故答案为：．