Question

13．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE．
（1）证明：BF=DF；
（2）求AF的值；
（3）求△DBF的面积．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质可得到△ABD≌△EDB，那么∠ADB=∠EBD，所以BF=DF；
（2）根据折叠的性质我们可得出AB=ED，∠A=∠E=90°，又有一组对应角，因此就构成了全等三角形判定中的AAS的条件．两三角形就全等，从而设BF为x，解直角三角形ABF可得出答案；
（3）由（1）知BF=DF，由（2）知BF的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．

解答 证明：（1）由折叠的性质知，CD=ED，BE=BC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，∠BAD=90°，
∴AB=DE，BE=AD，
在△ABD与△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=DE\\ BE=AD\\ BD=BD\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EDB（SSS），
∴∠EBD=∠ADB，
∴BF=DF；

（2）（2）在△ABD与△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AFB=∠EFD\\∠A=∠E=90°\\ AB=DE\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△EDF（AAS）．
∴AF=EF，
设BF=x，则AF=FE=8-x，
在Rt△AFB中，可得：BF²=AB²+AF²，
即x²=6²+（8-x）²，
解得：x=$\frac{25}{4}$，
∴AF=8-$\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$；

（3）∵由（1）知BF=DF，由（2）知BF=$\frac{25}{4}$，
∴DF=$\frac{25}{4}$，
∴S_△DBF=$\frac{1}{2}$DF•AB=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$×6=$\frac{75}{4}$．

点评 本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．