练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2006•柳州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的象经过A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三点，且与y轴交于点C．
    （1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点C的坐标；
    （2）若直线y=kx+d经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
    （3）点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）根据题意将点A，B，N的坐标代入函数解析式，组成方程组即可求得；
    （2）求得点C，M的坐标，可得直线CM的解析式，可求得点D的坐标，即可得到CD=，AN=，AD=2，CN=2，根据平行四边形的判定定理可得四边形CDAN是平行四边形；
    （3）假设存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，因为这个二次函数的对称轴是直线x=1，故可设P（1，y），则PA是圆的半径且PA2=y2+22，
    过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切．
    由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，继而求得满足题意的点P存在，其坐标为（1，）或（1，）．
    解答：解：（1）因为二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）
    所以，可建立方程组：，
    解得：
    所以，所求二次函数的解析式为y=-x2+2x+3，
    所以，顶点M（1，4），点C（0，3）．

    （2）直线y=kx+d经过C、M两点，
    所以，
    即k=1，d=3，
    直线解析式为y=x+3．
    令y=0，得x=-3，
    故D（-3，0）
    ∴CD=，AN=，AD=2，CN=2
    ∴CD=AN，AD=CN（2分）
    ∴四边形CDAN是平行四边形．

    （3）假设存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，
    因为这个二次函数的对称轴是直线x=1，
    故可设P（1，y），
    则PA是圆的半径且PA2=y2+22，
    过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切．
    由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，
    故△PQM也是等腰直角三角形，
    由P（1，y）得PE=y，PM=|4-y|，，
    由PQ2=PA2得方程：，
    解得，符合题意，
    所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，）或（1，）．
    点评：此题考查了二次函数与平行四边形以及圆的知识的综合应用，要注意待定系数法求函数解析式，还要注意数形结合思想的应用．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源：2010年九年级中考复习阶段性测试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （2006•柳州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的象经过A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三点，且与y轴交于点C．
    （1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点C的坐标；
    （2）若直线y=kx+d经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
    （3）点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2009年广东省深圳市高中阶段学校招生考试数学模拟试卷（解析版） 题型：解答题

    （2006•柳州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的象经过A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三点，且与y轴交于点C．
    （1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点C的坐标；
    （2）若直线y=kx+d经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
    （3）点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2006年广西柳州市中考数学试卷（课标卷）（解析版） 题型：解答题

    （2006•柳州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的象经过A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三点，且与y轴交于点C．
    （1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点C的坐标；
    （2）若直线y=kx+d经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
    （3）点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2006年广西柳州市中考数学试卷（大纲卷）（解析版） 题型：解答题

    （2006•柳州）如图，抛物线y=-x2+2mx+m+2的图象与x轴交于A（-1，0），B两点，在x轴上方且平行于x轴的直线EF与抛物线交于E，F两点，E在F的左侧，过E，F分别作x轴的垂线，垂足是M，N．
    （1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
    （2）设BN=t，矩形EMNF的周长为C，求C与t的函数表达式；
    （3）当矩形EMNF的周长为10时，将△ENM沿EN翻折，点M落在坐标平面内的点记为M'，试判断点M'是否在抛物线上？并说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案