Question

12．抛物线y=x²-2x-3交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，P是第三象限的抛物线上一点，OE⊥PB于E，连接CE，当∠PEC=45°时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 连接EC，PB交OC于K，首先证明△EOC∽△ECB，得$\frac{EO}{EC}$=$\frac{EC}{EB}$=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，设EC=a，求出EB、OE，再证明△BOE∽△BKO，得$\frac{OE}{OK}$=$\frac{EB}{BO}$，即$\frac{OK}{BO}$=$\frac{OE}{EB}$=$\frac{1}{2}$，推出点K是OC中点，求出直线KB与抛物线的交点P即可解决问题．

解答 解：连接EC，PB交OC于K．
∵OB=OC=3，∠BOC=90°，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵OE⊥PB，
∴∠OEP=∠OEB=90°，
∵∠PEC=45°，
∴∠OEC=∠BEC=135°，
∴∠EOC+∠OCE=45°，
∵∠OCE+∠BCE=45°，
∴∠EOC=∠BCE，
∴△EOC∽△ECB，
∴$\frac{EO}{EC}$=$\frac{EC}{EB}$=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，设EC=a，
则EB=$\sqrt{2}$a，OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∵∠OBK=∠OBE，∠BOK=∠BEO=90°，
∴△BOE∽△BKO，
∴$\frac{OE}{OK}$=$\frac{EB}{BO}$，
∴$\frac{OK}{BO}$=$\frac{OE}{EB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OK=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{3}{2}$，
∴点K坐标为（0，-$\frac{3}{2}$），
设直线BK为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BK解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
∴点P坐标为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{4}$）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点，新三角形的判定和性质、一次函数等知识，解题的关键是发现相似三角形，学会设参数解决问题，本题的突破点是证明点K是OC中点，属于中考压轴题．