Question

已知二次函数y=2x²-4mx-6m²．
（1）求证：当m为非零实数时，这个二次函数与x轴总有两个不同的交点；
（2）若这条抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为C，且△ABC的面积为16，求m的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：证明题

分析：（1）先计算根的判别式得到△=64m²，由于m≠0，则△＞0，根据b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数即可得到当m为非零实数时，这个二次函数与x轴总有两个不同的交点；
（2）先吧解析式配方确定C点坐标为（m，-8m²），再根据抛物线与x轴的两交点间的距离公式得到AB=

64m2

2

，则根据三角形面积公式得

1

2

×

64m2

2

×8m²=16，然后解方程即可．

解答：（1）证明：△=（-4m）²-4×2×（-6m²）
=64m²，
∵m≠0，
∴64m²，＞0，即△＞0，
∴当m为非零实数时，这个二次函数与x轴总有两个不同的交点；
（2）解：y=2（x²-2mx）-6m²，
=2（x-m）²-8m²，
∴C点坐标为（m，-8m²），
而AB=

64m2

2

，
∴

1

2

×

64m2

2

×8m²=16，
∴m=±1．

点评：本题考查了二次函数与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系：△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．