Question

1．如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．

Answer 1

分析 （1）分别令y=x+3中x=0、y=0求出与之对应的y、x的值，由此即可得出点A、B坐标，再根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中y=0，求出x值，即可得出点B的坐标，利用配方法找出抛物线顶点D的坐标，由此即可用含t的代数式表示出点P的坐标．由点B、C、P的坐标利用两点间的距离公式即可求出PC²、PB²和BC²，以P、B、C为顶点的直角三角形按三个角分别为直角即可分三种情况，在每种情况下根据勾股定理即可得出关于t的一元一次方程（或一元二次方程），解方程即可求出时间t．

解答 解：（1）令y=x+3中x=0，则y=3，
∴B（0，3）；
令y=x+3中y=0，则x=-3，
∴A（-3，0）．
将A（-3，0）、B（0，3）代入y=-x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-9-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．
（2）令y=-x²-2x+3中y=0，则-x²-2x+3=-（x-1）（x+3）=0，
解得：x=1，或x=-3，
∴B（1，0）．
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴D（-1，4），P（-1，4-t）．
∵B（0，3），C（1，0），
∴PC²=（-1-1）²+（4-t）²=t²-8t+20，PB²=（-1）²+（4-t-3）²=t²-2t+2，BC²=1²+3²=10．
以P、B、C为顶点的直角三角形分三种情况（如图所示）：
①当∠PBC=90°时，有PC²=PB²+BC²，
即t²-8t+20=t²-2t+2+10，
解得：t₁=$\frac{4}{3}$；
②当∠BPC=90°时，有BC²=PC²+PB²，
即10=t²-8t+20+t²-2t+2，
解得：t₂=2，t₃=3；
③当∠PCB=90°时，有PB²=PC²+BC²，
即t²-2t+2=t²-8t+20+10，
解得：t₄=$\frac{14}{3}$．
综上可知：当t为$\frac{4}{3}$、2、3和$\frac{14}{3}$秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式以及勾股定理，解题的关键：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）分∠PBC=90°、∠BPC=90°和∠PCB=90°三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用两点间的距离公式找出三角形各边长度，再根据勾股定理找出它们间的关系是关键．