【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,点O在AC上,以OA为半径的⊙O交AB于点D,BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE.
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)若AC=3,BC=4,OA=1,求线段DE的长.
【答案】(1)相切,理由见解析;(2).
【解析】
(1)连接OD,根据圆的基本性质与垂直平分线的性质易得∠OAD=∠ODA,∠EDB=∠B,由∠OAD+∠B=90°,可得∠ODA+∠EDB=90°,即∠ODE=90°,根据切线的判定即可得解;
(2)连接OE,设DE=BE=x,则CE=8-x,在Rt△ODE与Rt△OCE中,利用勾股定理列出关于x的方程,然后求解方程即可.
解:(1)相切,理由如下:
如图,连接OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵EF垂直平分BD,
∴DE=BE,
∴∠EDB=∠B,
∵∠C=90°,
∴∠OAD+∠B=90°,
∴∠ODA+∠EDB=90°,
∴∠ODE=90°,
∴直线DE与⊙O相切;
(2)连接OE,
设DE=BE=x,则CE=4﹣x,
∵AC=3, OA=1,
∴OC=2,
在Rt△ODE与Rt△OCE中,
OD2+DE2=CE2+OC2=OE2,
12+x2=(4﹣x)2+22,
解得x=.
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【题目】如图,抛物线与x轴相交于点A(-2,0)、B(4,0),与y轴相交于点C,连接BC,以线段BC为直径作⊙M,过点C作直线CE∥AB,与抛物线和⊙M分别交于点D,E.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式;
(2)求线段DE的长;
(3)在BC下方的抛物线上有一点P,P点的横坐标是m,△PBC的面积为S,求出S与m之间的函数关系式,并求出当m为何值时,S有最大值,最大值为多少?
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【题目】如图,转盘中各个扇形的面积相等,分别标有数字1,2,3,4,小兰转动转盘,记下指针所在扇形内的数字为,再由小田转动转盘,记下指针所在扇形内的数字为,将和分别作为点的横坐标和纵坐标,得到点
(1) 用列表法或画树状图法表示出的所有等可能出现的结果;
(2) 求点落在一次函数的图象上的概率;
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【题目】某茶叶销售商计划将m罐茶叶按甲、乙两种礼品盒包装出售,其中甲种礼品盒每盒装4罐,每盒售价240元;乙种礼品盒每盒装6罐,每盒售价300元,恰好全部装完.已知每罐茶叶的成本价为30元,设甲种礼品盒的数量为x盒,乙种礼品盒的数量为y盒.
(1)当m=120时.
①求y关于x的函数关系式.
②若120罐茶叶全部售出后的总利润不低于3000元,则甲种礼品盒的数量至少要多少盒?
(2)若m罐茶叶全部售出后平均每罐的利润恰好为24元,且甲、乙两种礼品盒的数量和不超过69盒,求m的最大值.
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【题目】已知点A(﹣1,5),B(0,0),C(4,0),D(2019,m),E(2020,n)在某二次函数的图象上.下列结论:①图象开口向上;②图象的对称轴是直线x=2;③m<n;④当0<x<4时,y<0.其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】暑假到了,即将迎来手机市场的销售旺季.某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机,这两种手机的进价和售价如下表所示:
甲 | 乙 | |
进价(元/部) | 4000 | 2500 |
售价(元/部) | 4300 | 3000 |
该商场计划投入15.5万元资金,全部用于购进两种手机若干部,期望全部销售后可获毛利润不低于2万元.(毛利润=(售价﹣进价)×销售量)
(1)若商场要想尽可能多的购进甲种手机,应该安排怎样的进货方案购进甲乙两种手机?
(2)通过市场调研,该商场决定在甲种手机购进最多的方案上,减少甲种手机的购进数量,增加乙种手机的购进数量.已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍,而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元,该商场怎样进货,使全部销售后获得的毛利润最大?并求出最大毛利润.
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【题目】定义:对于抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0),若b2=ac,则称该抛物线为黄金抛物线.例如:y=2x2﹣2x+2是黄金抛物线.
(1)请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式;
(2)若抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)是黄金抛物线,请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况(要求说明理由);
(3)将黄金抛物线y=2x2﹣2x+2沿对称轴向下平移3个单位.
①直接写出平移后的新抛物线的解析式;
②设①中的新抛物线与y轴交于点A,对称轴与x轴交于点B,动点Q在对称轴上,问新抛物线上是否存在点P,使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明.
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