Question

在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE并延长交直线DC于F，且CE=CF．
（1）如图1，求证：AF是∠BAD的平分线；
（2）如图2，若∠ABC=90°，点G是线段EF上一点，连接DG、BD、CG，若∠BDG=45°，求证：CG=EF．

Answer 1

证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DF，BC∥AD，
∴∠2=∠F，∠1=∠3，
∵EC=FC，
∴∠3=∠F，
∴∠1=∠2，
∴AF是∠BAD的平分线；

（2）连接BG，
∵在平行四边形ABCD中，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵CE=CF，∠BCD=∠ECF=90°，
∴△CEF为RT△，
∴∠CEF=45°
∴∠BAE=45°，
∴∠EAB=45°，
∵∠BDG=45°，
∴ABGD四点共圆 （同弦BG）
又四边形ABCD是矩形
∴ABCD四点共圆
即ABGCD五点共圆
∴∠ECG=45°，
∵△CEF为RT△，∠ECG=45°，
∴CG是RT△CEF斜边EF上的中线，
∴CG=EF．
分析：（1）根据四边形ABCD是平行四边形得出，AB∥DF，BC∥AD，得出∠2=∠F，∠1=∠3，进而求出∠1=∠2即可；
（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可直接求得．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，四点共圆的有关性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．