Question

如图所示，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形叫黄金三角形，已知腰长AB=1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形，以此类推，第2007个黄金三角形的周长为（　　）

• A、k²⁰⁰⁶
• B、k²⁰⁰⁷
• C、

  k2006

  2+k

• D、k²⁰⁰⁶（2+k）

Answer 1

分析：相似三角形对应角相等，对应边成比例，所以可求出前几个三角形的周长，进而找出其内在规律：第n个黄金三角形的周长为k^n-1（2+k）．

解答：解：∵AB=AC=1，
∴△ABC的周长为2+k；
△BCD的周长为k+k+k²=k（2+k）；
△CDE的周长为k²+k²+k³=k²（2+k）；
依此类推，第2007个黄金三角形的周长为k²⁰⁰⁶（2+k）．
故选D．

点评：此题属于规律性问题，结合黄金三角形考查相似三角形的性质问题，找出各个三角形周长之间的关系，不难得出其内部之间的联系．