【题目】如图,抛物线的对称轴为轴,且经过(0,0),()两点,点P在抛物线上运动,以P为圆心的⊙P经过定点A(0,2),
(1)求的值;
(2)求证:点P在运动过程中,⊙P始终与轴相交;
(3)设⊙P与轴相交于M,N (<)两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标.
【答案】(1)a=,b=c=0;(2)证明见解析;(3)P的纵坐标为0或4+2或4﹣2.
【解析】试题分析:(1)根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a,b,c的值即可;
(2)设P(x,y),表示出⊙P的半径r,进而与x2比较得出答案即可;
(3)分别表示出AM,AN的长,进而分别利用当AM=AN时,当AM=MN时,当AN=MN时,求出a的值,进而得出圆心P的纵坐标即可.
试题解析:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)和(, )两点,
∴抛物线的一般式为:y=ax2,
∴=a()2,
解得:a=±,
∵图象开口向上,∴a=,
∴抛物线解析式为:y=x2,
故a=,b=c=0;
(2)设P(x,y),⊙P的半径r=,
又∵y=x2,则r=,
化简得:r=>x2,
∴点P在运动过程中,⊙P始终与x轴相交;
(3)设P(a, a2),∵PA=,
作PH⊥MN于H,则PM=PN=,
又∵PH=a2,
则MH=NH==2,
故MN=4,
∴M(a﹣2,0),N(a+2,0),
又∵A(0,2),∴AM=,AN=,
当AM=AN时, =,
解得:a=0,
当AM=MN时, =4,
解得:a=2±2(负数舍去),则a2=4+2;
当AN=MN时, =4,
解得:a=﹣2±2(负数舍去),则a2=4﹣2;
综上所述,P的纵坐标为0或4+2或4﹣2.
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【题目】我区某校分别于2014年、2015年随机调查相同数量的学生,对数学课开展小组合作学习的情况进行调查(开展情况分为较少、有时、常常、总是四种),绘制成部分统计图如下.请根据图中信息,解答下列问题:
(1)a= %,b= %,“总是”对应阴影的圆心角为 °;
(2)请你补全条形统计图;
(3)若该校2015年共有1200名学生,请你统计其中认为数学课“总是”开展小组合作学习的学生有多少名?
(4)数学课开展小组合作学习的情况有何变化?
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【题目】(1)如图1,已知O是直线CD上的点,OA平分∠BOC,OE平分∠BOD,∠AOC=35°,求∠BOE,∠COE的度数.
(2)如图2,已知AB=16cm,C是AB上一点,点D是线段AC的中点,点E是线段BC的中点,求线段DE的长度.
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【题目】第三届世界互联网大会(3rd World Internet Conference),是由中华人民共和国倡导并举办的互联网盛会,于2016年11月16日至18日在浙江乌镇举办.某初中学校为了了解本校学生对本次互联网大会的关注程度(关注程度分为:A.特别关注;B.一般关注;C.偶尔关注;D.不关注),随机抽取了部分学生进行调查,并将结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2(不完整)请根据图中信息回答问题.
(1)此次抽样调查中,共调查了多少名学生?
(2)求出图2中扇形B所对的圆心角度数,并将图1补充完整.
(3)在这次调查中,九(1)班共有甲、乙、丙、丁四人“特别关注”本届互联网大会,现准备从四人中随机抽取两人进行交流,请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率.
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【题目】如图1,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形.
(1)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由;
(2)当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,△AMN是否还是等边三角形?若是请给出证明,
(3)在(2)的条件下,求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN.
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【题目】定义:如果M个不同的正整数,对其中的任意两个数,这两个数的积能被这两个数的和整除,则称这组数为M个数的祖冲之数组.如(3,6)为两个数的祖冲之数组,因为3×6能被(3+6整除);又如(15,30,60)为三个数的祖冲之数组,因为(15×30)能被(15+30)整除,(15×60)能被(15+60)整除,(30×60)能被(30+60)整除…
(1)我们发现,3和6,4和12,5和20,6和30…,都是两个数的祖冲之数组;由此猜测n和n(n﹣1)(n≥2,n为整数)组成的数组是两个数的祖冲之数组,请证明这一猜想.
(2)若(4a,5a,6a)是三个数的祖冲之数组,求满足条件的所有三位正整数a.
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