Question

6．已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0）和B（2，0），与y轴交于点C（0，-2）．
（1）求这条抛物线的解析式和顶点M的坐标．
（2）求四边形ABMC的面积．
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A、B、C三点坐标代入y=ax²+bx+c，可得抛物线解析式，继而可得顶点M的坐标；
（2）过点M作MD⊥x轴于点D，则S_{四边形ABMC}=S_△AOC+S_梯形OCMD+S_△MBD，分别计算即可．
（3）根据函数的图象及A、C的位置，可明显的看出∠APC不可能是直角，因此此题要分两种情况讨论：
①∠PAC=90°，设出点P的坐标，然后表示出AC²、PA²、PC²的值，根据勾股定理可得到关于P点横、纵坐标的等量关系式，联立抛物线的解析式，即可求出此时点P的坐标．

解答 解：（1）将A（-1，0）、B（2，0）、C（0，-2）代入抛物线解析式，
得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
故抛物线解析式为y=x²-x-2，
∵y=x²-x-2=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$
∴顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）．

（2）连接AC、CM、BM，过点M作MD⊥x轴于点D，
则S_{四边形ABMC}=S_△AOC+S_梯形OCMD+S_△MBD
=$\frac{1}{2}$×1×2+$\frac{1}{2}$×（2+$\frac{9}{4}$）×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{9}{4}$
=1+$\frac{17}{16}$+$\frac{27}{16}$
=$\frac{15}{4}$．

（3）假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为P（m，n），则m＞$\frac{1}{2}$且n=m²-m-2；
PA²=（m+1）²+n²，PC²=m²+（n+2）²，AC²=5，
分以下几种情况讨论：
①若∠PAC=90°，则PC²=PA²+AC²．
∴$\left\{\begin{array}{l}{n={m}^{2}-m-2}\\{{m}^{2}+（n+2）^{2}=（m+1）^{2}+{n}^{2}+5}\end{array}\right.$，
解得m₁=$\frac{5}{2}$，m₂=-1；
∵m＞$\frac{1}{2}$，
∴m=$\frac{5}{2}$，
∴P₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）；
②若∠PCA=90°，则PA²=PC²+AC²
∴$\left\{\begin{array}{l}{n={m}^{2}-m-2}\\{（m+1）^{2}+{n}^{2}={m}^{2}+（n+2）^{2}+5}\end{array}\right.$，
解得m₃=$\frac{3}{2}$，m₄=0，
∵m＞$\frac{1}{2}$，
∴m=$\frac{3}{2}$，
∴P₂（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$）；
当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，
所以边AC的对角∠APC不可能是直角，
故存在符合条件的点P，且坐标为P₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$），P₂（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．

点评 此题是二次函数的综合题，考查了二次函数顶点坐标及函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法、直角三角形的判定、勾股定理等知识，要注意的是（3）题一定要根据不同的直角顶点分类讨论，以免漏解．