Question

6．如图，已知正方形ABCD，E是CB延长线上一点，连接DE，交AB于点F，过点B作BG⊥DE于点G，连接AG．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠ABG=∠ADE；
（3）写出DG，AG，BG之间的等量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）依题意补全图形；
（2）由平行得内错角相等，再根据同角的余角相等得结论；
（3）作辅助线，构建全等三角形，证明△ABG≌△ADH，得AG=AH，且得△AGH是等腰直角三角形，得
GH=$\sqrt{2}$AG，则DG=DH+GH=$\sqrt{2}$AG+BG．

解答 解：（1）补全图形，如图1；
（2）证明∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠ADE，
∵∠ABC=90°，
∴∠FBE=90°，
∴∠ABG+∠EBG=90°，
∵BG⊥DE于点G，
∴∠DEC+∠EBG=90°，
∴∠ABG=∠DEC，
∴∠ABG=∠ADE；
（3）DG=$\sqrt{2}$AG+BG，理由是：
如图2，在DE上截取DH=BG，连接AH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AB=AD，
∵∠ABG=∠ADH（已证），
∴△ABG≌△ADH（SAS），
∴AG=AH，∠GAB=∠HAD，
∴∠GAH=90°，
∴AG²+AH²=GH²，
∴GH=$\sqrt{2}$AG，
∴DG=DH+GH=$\sqrt{2}$AG+BG．

点评 本题考查了正方形、全等三角形的性质和判定，运用了勾股定理证明线段之间的关系；在几何证明中常常会添加辅助线，本题是截取线段相等，构建了两个三角形全等，把三条线段的位置转化到同一条线段上，使问题得以解决．