Question

14、若一个等腰三角形的三边长均满足方程x²-9x+18=0，则此三角形的周长为

9，15或18

．

Answer 1

分析：把已知的方程左边利用十字相乘的方法分解因式，转化为两个一元一次方程，即可求出方程的两个解，然后分四中情况考虑：第一：考虑3为腰，6为底边，不满足两边之和大于第三边，故此情况不成立；第二：3为底边，6为腰，得出三角形的三边，求出三边之和即为三角形的周长；第三：三边长都为3，即三角形为等边三角形，求出周长即可；第四：三边长都为6，同理求出周长即可．

解答：解：方程x²-9x+18=0，
因式分解得：（x-3）（x-6）=0，
解得：x₁=3，x₂=6，
若3为等腰三角形的腰，6为底边，则3+3=6，不能构成三角形，舍去；
若3为底边，6为腰，此三角形的三边分别为6，6，3，则周长为6+6+3=15；
若三角形三边长都为3，即三角形为等边三角形，则周长为3+3+3=9；
若三角形三边长都为6，即三角形为等边三角形，则周长为6+6+6=18，
综上，此三角形的周长为9，15或18．
故答案为：9，15或18

点评：此题考查了用因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分解因式法是解一元二次方程常用的方法，其理论依据为：等号左边为两个因式的积，等号右边为0，则两因式中至少有一个为0．本题的难点在于利用了分类讨论的数学思想，考虑满足题意的四种情况，利用三角形的三边关于判断得到符合题意的情况，然后根据等腰三角形及等边三角形的有关性质来解决，体现了用代数知识解决几何问题的乐趣．