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(2009•兖州市模拟)已知抛物线y=x2+bx+c,经过点A(0,5)和点B(3,2)
(1)求抛物线的解析式:
(2)现有一半径为l,圆心P在抛物线上运动的动圆,问⊙P在运动过程中,是否存在⊙P与坐标轴相切的情况?若存在,请求出圆心P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若⊙Q的半径为r,点Q在抛物线上,且⊙Q与两坐轴都相切时,求半径r的值.
【答案】分析:(1)利用待定系数法把已知坐标代入抛物线解析式即可
(2)设点P坐标为(x,y),当⊙P在运动过程中,存在⊙P与坐标轴相切的情况(⊙P与y轴相切;⊙P与x轴相切时)
(3)设点Q坐标为(x,y),则当⊙Q与两条坐标轴都相切时,有y=±x代入抛物线解析式求出x的值即可.
解答:解:(1)由题意,得;
解得(3分)
抛物线的解析式为y=x2-4x+5(1分)

(2)当⊙P在运动过程中,存在⊙P与坐标轴相切的情况.
设点P坐标为(x,y),则
当⊙P与y轴相切时,有|x|=1,x=±1
由x=-1,得y=1-4×(-1)+5=10,
∴P1(-1,10),(1分)
由x=1,得y=1 2-4×1+5=2,
∴P2(1,2)(1分)
当⊙P与x轴相切时有|y|=1
∵抛物线开口向上,且顶点在x轴的上方.
∴y=1
由y=1,得x2-4x+5=1,
解得x=2,
则P3的坐标是(2,1)
综上所述,符合要求的圆心P有三个,其坐标分别为:
P1(-1,10),P2(1,2),P3(2,1)(2分)

(3)设点Q坐标为(x,y),则当⊙Q与两条坐标轴都相切时,有y=±x
由y=x得x2-4x+5=x,即x2-5x+5=0,
解得x=(2分)
由y=-x,得x2-4x+5=-x.
即x2-3x+5=0,此方程无解(1分)
∴⊙O的半径为r=.(1分)
点评:本题综合考查的是直线与圆的知识以及二次函数的相关知识点,难度较大.
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