Question

如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC=1：2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长？

Answer 1

分析：过P点作PF∥BC交AC于F点，根据等边三角形的性质和判定求出△APF是等边三角形，推出AP=AF=PF=CQ，根据等腰三角形性质求出AE=EF，根据AAS证△PFD和△QCD全等，求出FD=CD，推出DE=

1

2

AC，代入求出即可．

解答：解：过P点作PF∥BC交AC于F点，
∵等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，CQ：BC=1：2，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴AP=CQ，
∵PF∥AB，
∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴∠A=∠APF=∠AFP=60°，
∴△APF是等边三角形，
∵PE⊥AC，
∴EF=

1

2

AF，
∵△APF是等边三角形，AP=CQ，
∴PF=CQ
∵PF∥AB，
∴∠Q=∠FPD，
在△PDF和△QDC中
∵

∠FPD=∠Q ∠FDP=∠QDC PF=CQ

，
∴△PDF≌△QDC，
∴DF=CD，
∴DF=

1

2

CF，
∴DE=EF+DF=

1

2

AF+

1

2

CF=

1

2

AC，
∴ED=5．

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目综合性比较强，是一道比较好的题目．